¿En la cirugía de quiste tiroideo puede haber lesiones en las cuerdas vocales?

No, no hay daño de las cuerdas vocales en la cirugia del quiste tirogloso.

El quiste tiroideo se encuentra en la tiroides y, por tanto, dicha cirugía sí tiene un riesgo de lesión del nervio recurrente (que es el nervio que inerva a las cuerdas vocales).
Si de lo que se trata es de un quiste tirogloso, éste se sitúa en la línea media cervical por encima del cartílago cricoides, donde no llega el nervio recurrente, ya que se introduce hacia las cuerdas vocales en un plano más inferior.

Si solamente hay un quiste en un lado, en caso de indicación quirúrgica, habría que hacer una hemitiroidectomía, con lo cual la posible afectación sería sólo de un lado.
En cualquier caso, aunque siempre que se opera sobre el tiroides hay riesgo de lesión de los nervios recurrentes, en manos experimentadas, la incidencia es mínima, aunque nunca imposible de ocurrir.