En los análisis me ha dado tsh: 5,94, ¿es para preocuparse?

No es para preocupar, es para seguir vigilando y repitiéndola para poder descartar un posible hipotiroidismo subclínico asociado

Dificil de contestar, deberíamos saber los rangos de normalidad del laboratorio.

Una TSH por encima de 4 normalmente indica que el tiroides esta trabajando poco, es decir que puede existir un hipotiroidismo. A falta de conocer el panel completo sería una forma leve, pero valorando otros aspectos (tu edad, la posibilidad de embarazos, la existencia de síntomas o un tiroides agrandado) podríamos considerar la posibilidad de iniciar tratamiento con hormona tiroidea. Antes sería interesante confirmarlo, ya que la determinación de TSH en determinados ámbitos puede tener una variabilidad atribuible a la técnica bastante alta. Es decir, que igual te la repites y está por debajo de 4. Además puedes aprovechar la extracción para la determinación de anticuerpos frente a la peroxidasa tirodea cuya positividad hablaría a favor de un hipotiroidismo y con ello aclarar aun mas el tema.